Moving average function in r

Przenoszenie średnich w R. To najlepsza moja wiedza, R nie ma wbudowanej funkcji do obliczania ruchomej średniej Korzystanie z funkcji filtrowania, jednak możemy napisać krótką funkcję przenoszenia średniej. Możemy następnie użyć dowolnej funkcji danych mav lub mav, 11 jeśli chcemy podać inną liczbę punktów danych niż domyślne 5 prac drukarskich zgodnie z oczekiwaniami. Na podstawie danych o mav dane liczbowe, oprócz liczby punktów danych, możemy również zmienić boczne argumenty stron funkcji filtrów 2 korzysta z obu stron, strony 1 używa tylko przeszłych wartości. Post navigation navigation nawigacja mav c 4,5,4,6, 3 seria czasowa Start 1 koniec 4 częstotliwość 1 1 NA 4 333333 5 000000 NA . Próbowałem toczyć średnią kroczącą, która uwzględniała ostatnie 3 cyfry, więc spodziewałem się, że dostanę tylko dwie cyfry z powrotem na 4 333333 i 5, a jeśli byłyby wartości NA, myślałem, że są na początku sekwencja. W rzeczywistości okazuje się, że boki parametrów są kontrolowane r Tylko filtry splatania Jeśli boki 1 współczynniki filtru są dla przeszłych wartości tylko wtedy, gdy boki 2 są wyśrodkowane dookoła luku 0 W tym przypadku długość filtra powinna być nieparzysta, ale jeśli jest ona równa, więcej filtra jest przesuwane w czasie niż w tył. Więc w naszej funkcji mav średnia toczenia wygląda po obu stronach bieżącej wartości, a nie tylko w przeszłości wartości Możemy dostosować, że aby zachować chcemy. library zoo rollmean c 4,5,4,6, 3 1 4 333333 5 000000. Zdałem sobie również sprawę, że mogę wyświetlić listę wszystkich funkcji w pakiecie z funkcją ls, więc będę skanował zoo listę funkcji następnym razem, kiedy muszę zrobić coś, co czasami związane z tym prawdopodobnie już będzie dla niego funkcją. ls pakiet zoo 1 4 7 10 13 16 coredata coredata - 19 facetfree 22 częstotliwość - indeks 25 indeks - index2char 28 MATCH 31 34 37 40 43 46 49 ORDER 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 rollapply rollapplyr rollmax 85 rollmaxr rollmean 88 rollmeanr rollmedan 91 rollmedanr rollsanr rolkarz 91 rollsumer 92 rollsuman salmonella 92 salmonella salmonella 97 salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella salmonella, rqtr scaleyyearmon scaleyyearqtr 100 time - 103 xblocks 106 yearmon yearmontrans 109 yearqtr yearqtrtrans zoo 112 zooreg. Be Sociable, Share. Using R dla analizy serii Time. Time serii. Ten broszura itells, jak korzystać z oprogramowania statystycznego R do wykonywania niektórych prostych analizy, które są wspólne w analizie danych serii czasowej. Ta broszura zakłada, że ​​czytelnik posiada podstawową wiedzę na temat analizy serii czasowej, a główny cel broszury nie ma na celu wyjaśnienia analizy szeregów czasowych, ale wyjaśnić, jak przeprowadzić te analizy używając R. Jeśli jesteś nowy w analizie serii czasowej i chcesz dowiedzieć się więcej o dowolnym z przedstawionych tutaj pojęć, gorąco polecam książkę Open University z serii Time series M249 02, dostępną z Open University Shop. In this broszura, będę używać zestawów danych serii czasowych, które zostały udostępnione przez Rob Hyndmana w jego bibliotece danych z serii czasowej. Jeśli podoba Ci się niniejsza broszura, możesz również sprawdzić moje broszura o wykorzystaniu R do biomedycznych statystyk i mojej broszury o użyciu R do analizy wielordzeniowej. Reading Time Series Data. The pierwszą rzeczą, którą chcesz zrobić, aby analizować dane szeregów czasowych będzie odczytać ją do R i serie czasowe Możesz czytać dane w R za pomocą funkcji skanowania, która zakłada, że ​​dane za kolejne punkty czasowe są w prostym pliku tekstowym z jedną kolumną. Na przykład plik zawiera dane dotyczące wieku śmierci kolejnych królów Anglii, począwszy od oryginalnego źródła Williama Zdobywcy Hipel i Mcleod, 1994. Zestaw danych wygląda tak. Tylko pierwsze kilka wierszy pliku zostały pokazane Pierwsze trzy wiersze zawierają komentarz na temat danych, a my chcemy to zignorować, gdy odczytać dane do R Możemy to wykorzystać używając parametru skip funkcji skanowania, która określa ile linii na górze pliku ignoruje Aby odczytać plik do R, ignorując pierwsze trzy wiersze, wpiszemy. W tym jeśli wiek śmierci 42 kolejnych k Po przeczytaniu danych serii czasowej na R, następnym krokiem jest zapisanie danych w obiekcie szeregów czasowych w R, dzięki czemu można używać wielu funkcji R s do analizy czasu dane serii Aby zapisać dane w obiekcie szeregowym czasowym, używamy funkcji ts w R Na przykład, aby zapisać dane w zmiennych królach jako obiekt serii czasowej w R, wpiszemy. Czasami zestaw danych szeregowych, które mają może być zbierana w regularnych odstępach czasu krótszych niż rok, na przykład co miesiąc lub kwartał W tym przypadku można określić liczbę przypadków zbierania danych rocznie przy użyciu parametru częstotliwości w funkcji ts Dla serii miesięcznych danych, ustawiasz częstotliwość 12, a dla danych kwartalnych szeregów czasowych, ustaw częstotliwość 4. Można również określić rok, w którym dane zostały zebrane, a pierwszy odstęp w tym roku, używając parametru start w funkcji ts Na przykład , jeśli pierwszy punkt danych odpowiada do drugiego kwartału 1986 r. można rozpocząć c 1986,2. Przykładem jest zestaw danych dotyczących liczby urodzeń miesięcznie w Nowym Jorku, od stycznia 1946 r. do grudnia 1959 r. pierwotnie zebrane przez Newton Te dane są dostępne w plik Możemy odczytywać dane w R i zapisywać je jako obiekt z serii czasowych, wpisując. Podobnie plik zawiera miesięczną sprzedaż sklepu z pamiątkami w mieście nadmorskim w Queensland w Australii w styczniu 1987 r. - grudzień 1993 r. z Wheelwright i Hyndman, 1998 Możemy odczytywać dane do R, wpisującPlotting Time Series. Po przeczytaniu serii czasów w R, następnym krokiem jest zwykle tworzenie wykresu danych z serii czasowych, które można zrobić z funkcja w R. Na przykład, aby sprecyzować szereg czasowy wieku śmierci 42 kolejnych królów Anglii, wpiszemy. Z wykresu czasowego możemy zobaczyć, że seria ta może być opisywana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ przypadkowe fluktuacje danych są w przybliżeniu stale duże w miarę upływu czasu kewise, aby wykreślić serię czasu liczby porodów miesięcznie w Nowym Jorku, typu. Możemy zobaczyć z tego czasu serii, że wydaje się być sezonową zmienność liczby porodów miesięcznie jest szczyt każdego lata, i koryta co zimę Znowu wydaje się, że tym razem serie mogłyby być prawdopodobnie opisane przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ fluktuacje sezonowe są w przybliżeniu stałą wielkością i nie wydają się zależeć od szeregu czasowego, a przypadkowe wahania wydają się być w przybliżeniu stałą wielkością w stosunku do czasu. Podobnie, aby sprecyzować cykl miesięczny miesięcznej sprzedaży sklepu z pamiątkami w mieście Beach Resort w Queensland w Australii, wpisujemy. W tym przypadku wydaje się, że model dodatku nie jest odpowiedni do opisania tej serii czasowej, ponieważ wielkość wahań sezonowych i losowych wahań wydają się wzrastać wraz z poziomem serii czasowej W związku z tym musimy przekształcić szereg czasowy w celu uzyskania przekształconej serii czasowej tha t można opisać przy użyciu modelu addytywnego Na przykład możemy przekształcić szereg czasowy, obliczając naturalny dzien pierwotnych danych. Widzimy, że wielkość wahań sezonowych i losowych wahań w seriach czasowych przekształcanych logicznie wydaje się być w przybliżeniu stały w czasie i nie zależy od poziomu serii czasowej Seria czasów przekształcanych logicznie może być prawdopodobnie opisana przy użyciu modelu addytywnego. Termodynamika szeregowa. Rozmieszczanie szeregów czasowych oznacza oddzielenie ich składowych składników, które są zwykle elementem trendu i elementem nieregularnym, a jeśli jest sezonem czasowym, składnik sezonowy. Rozkładanie danych poza sezonem. Serie czasu poza sezonem składają się ze składnika tendencji i składnika nieprawidłowego. Podział na szereg czasowy obejmuje próbując oddzielić szeregy czasowe do tych elementów, czyli oszacować składnik tendencji i składnik nieregularny. Aby oszacować składnik tendencji w porze poza sezonem które można opisać przy użyciu modelu addytywnego, powszechnie stosuje się metodę wygładzania, taką jak obliczanie prostej średniej ruchomej serii czasowej. Funkcja SMA w pakiecie TTR R może być wykorzystana do wygładzania danych serii czasowych za pomocą prostego średnia ruchoma Aby skorzystać z tej funkcji, najpierw musimy zainstalować pakiet TTR R, aby dowiedzieć się, jak zainstalować pakiet R, zobacz Jak zainstalować pakiet R Po zainstalowaniu pakietu TTR R można załadować pakiet TTR R wpisując. Następnie można użyć funkcji SMA do wygładzania danych z serii czasowych Aby użyć funkcji SMA, należy określić zakres zlecenia dla prostej średniej ruchomej, używając parametru n Na przykład do obliczenia prostej średniej ruchomej rzędu 5, ustawiamy n5 w funkcji SMA. Na przykład, jak omówiono powyżej, seria czasów wiekowych śmierci 42 kolejnych królów Anglii jest nie-sezonowa i prawdopodobnie może być opisana przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ przypadkowe wahania w danych jest mniej więcej wady w miarę upływu czasu. Można więc spróbować oszacować składową trendu tej serii czasowej, wygładzając za pomocą prostej średniej ruchomej Aby wygładzić serie czasów za pomocą prostej średniej ruchomej rzędu 3 i wygenerować wygładzone dane serii czasowej, typ. Wydaje się, że w szeregach czasowych wygładzone jest wiele przypadkowych wahań w oparciu o prostą średnią ruchową rzędu 3. W celu dokładniejszego oszacowania składu trendów, możemy spróbować wygładzić dane za pomocą prostej średniej ruchomej wyższy porządek To zajmuje trochę czasu prób i błędów, aby znaleźć właściwą kwotę wygładzania Na przykład możemy spróbować użyć prostej średniej ruchomej zlecenia 8. Dane wygładzone przy prostej średniej ruchomej rzędu 8 dają wyraźniejszy obraz składnika tendencji i widzimy, że wiek śmierci królów angielskich zmniejszył się z około 55 roku życia do około 38 lat w okresie panowania pierwszych 20 królów, a następnie wzrósł po tym do około 73 lat t koniec okresu panowania 40. króla w serii czasowej. Przedstawienie danych sezonowych. Seria czasów sezonowych składa się ze składnika tendencji, składnika sezonowego i składnika nieregularnego. Podział na szereg czasu oznacza oddzielenie szeregów czasowych na te trzy składniki, które , estymując te trzy składniki. Aby oszacować składową trendu i składową sezonową sezonowej serii czasowej, którą można opisać przy użyciu modelu addytywnego, możemy użyć funkcji rozkładu w R Ta funkcja szacuje trend, sezonowe i nieregularne składniki czasu które może być opisane przy użyciu modelu addytywnego. Funkcja rozkładu zwraca obiekt listy jako jego wynik, gdzie szacunki składnika sezonowego, składnika tendencji i składnika nieregularnego są przechowywane w wymienionych elementach obiektów listy, zwanych sezonowymi, tendencjami i losowo. Na przykład, jak omówiono powyżej, seria czasowa liczby urodzeń miesięcznie w Nowym Jorku jest sezonowa z szczytem każdego lata i każdorazowo zimuje i prawdopodobnie można je opisać przy użyciu modelu addytywnego, ponieważ sezonowe i losowe wahania wydają się mieć stałą wielkość w miarę upływu czasu. Aby oszacować trend, sezonowe i nieregularne składniki tej serii czasowej, wpiszemy. Szacowane wartości składniki sezonowe, trendy i nieregularne są obecnie przechowywane w zmiennych składnikach narodzinach komponenty sezonowe, miesiące nowotworowe komponenty komponentów i miesiące urodzenia komponenty losowe Na przykład możemy wydrukować oszacowane wartości składnika sezonowego przez wpisanie. Szacowane czynniki sezonowe podano w miesiącach styczeń-grudzień , i są takie same dla każdego roku Największy czynnik sezonowy to lipiec około 1 46, a najniższy w lutym około -2 08, wskazując na to, że w lipcu wydaje się szczytowy wzrost liczby urodzin, a narodzin każdego miesiąca w lutym rok. Możemy sprecyzować szacowany trend, sezonowe i nieregularne składniki szeregów czasowych za pomocą funkcji wykresu, na przykład. s pierwotny szczyt cyklu czasowego, szacowany składnik trendu drugi od góry, szacunkowy składnik sezonowy trzeci od góry oraz szacunkowy składnik nieregularnego dna Widzimy, że szacowany składnik tendencji wykazuje niewielki spadek z około 24 w 1947 r. do około 22 w roku 1948 , a nastę pnie stale wzrasta do 27 w 1959.Reasoning Adjusting. Jeś li masz sezon sezonowy, który można opisać przy użyciu dodatkowego modelu, możesz sezonowo dostosowywać serie czasów przez oszacowanie elementu sezonowego i odejmowanie Szacowany składnik sezonowy z serii pierwotnych Można to zrobić, stosując oszacowanie składnika sezonowego obliczonego przez funkcję rozkładu. Na przykład, aby sezonowo dostosować serię czasu liczby porodów miesięcznie w Nowym Jorku, możemy oszacować składnik sezonowy przy użyciu rozkładu, a następnie odejmuje składnik sezonowy od pierwotnej serii czasowej. Następnie można zaplanować sezonowo dostosowaną serię czasową za pomocą p wiele funkcji, wpisując się. Można zauważyć, że sezonowe odchylenia zostały usunięte z serii czasowych skorygowanych sezonowo. Sezonowo dostosowane serie czasów zawierają teraz składnik trendów i składnik nieregularny. Spotkania z użyciem Wyrazu Wygładzającego. Wygładzanie może być użyte do wykonania krótkoterminowe prognozy dla danych z serii czasowych. Simple Exponential Smoothing. Jeśli masz szereg czasowy, który można opisać przy użyciu modelu addytywnego o stałym poziomie i bez sezonowości, możesz użyć prostego wyrównania wykładniczego w celu krótkoterminowych prognoz. metoda wygładzania umożliwia oszacowanie poziomu w aktualnym punkcie czasowym Wygładzanie jest kontrolowane przez parametr alfa dla oszacowania poziomu w aktualnym punkcie czasowym Wartość alfa leży pomiędzy 0 a 1 Wartości alfa, które są bliskie 0 ta mała waga została umieszczona na podstawie najnowszych obserwacji przy prognozowaniu przyszłych wartości. Na przykład, plik zawiera całkowite roczne opady deszczu cale dla Londynu, od 1813-1912 oryginalne dane z Hipel i McLeod, 1994 Możemy odczytywać dane w R i spisać je przez wpisanie. Możesz zobaczyć z wykresu, że jest stały poziom średniej pozostaje stała na około 25 cali przypadkowe wahania w szeregach czasowych wydają się mieć stałą wielkość w czasie, więc prawdopodobnie jest to właściwe opisanie danych przy użyciu modelu addytywnego W ten sposób możemy dokonać prognoz przy użyciu prostego wygładzania wykładniczego. Aby dokonać prognoz za pomocą prostego wygładzania wykładniczego w R, możemy dopasować prosty predykcyjny wygładzający model predykcyjny przy użyciu funkcji HoltWinters w R Aby używać programu HoltWinters do prostego wygładzania wykładniczego, w funkcji HoltWinters należy ustawić parametry beta FALSE i gamma FALSE, a parametry beta i gamma są wykorzystywane do wyrównywania wykładniczej Holt , lub wygładzanie wykładnicze Holt-Winter'a, jak opisano poniżej. Funkcja HoltWinters zwraca zmienną listową, zawierającą kilka nazwanych elementów. Na przykład, aby użyć prostego przykładu ponownie wygładzając prognozy dotyczące serii czasowych rocznych opadów deszczu w Londynie, wpiszemy. Wydajność HoltWinters mówi nam, że szacowana wartość parametru alfa wynosi około 0 024 Jest to bardzo bliska zeru, informując nas, że prognozy są oparte zarówno w ostatnich, jak i niedawnych obserwacjach, choć w ostatnich obserwacjach nieco większą wagę przywiązuje się do niedawnych obserwacji. Domyślnie HoltWinters po prostu generuje prognozy w tym samym przedziale czasowym objętym naszym oryginalnym cyklem czasowym W tym przypadku oryginalne serie czasowe obejmowały opady deszczu w Londynie w latach 1813- 1912, więc prognozy są również w latach 1813-1912. W powyższym przykładzie zapamiętaliśmy wynik funkcji HoltWinters w zmiennej listy rainseriesforecasts Prognozy przeprowadzone przez HoltWinters są przechowywane w nazwanym elemencie tej zmiennej listy nazywanej, więc możemy uzyskać ich wartości poprzez wpisanie. Możemy spiskować oryginalne serie czasu przeciwko prognozom, wpisując. Fabuła pokazuje oryginalną serię czasową na czarno, a prognozy jako czerwoną linia szeregów czasowych prognoz jest dużo płynniejsza od serii czasowych oryginalnych danych. Ta miarę dokładności prognoz możemy obliczyć sumę kwadratowych błędów w przypadku błędów prognozowanych w próbce, czyli prognozy Błędy sumy kwadratów są przechowywane w nazwanym elemencie listy zmiennych rainseriesforecast o nazwie SSE, dzięki czemu możemy uzyskać jego wartość, wpisując. To jest suma sumy kwadratów - zamknięte błędy to 1828 855. Jest to powszechne w prostym elemencie wyrównania wykładniczego, aby użyć pierwszej wartości w serii czasowej jako wartości początkowej dla poziomu. Na przykład w serii czasowej opadów deszczu w Londynie pierwsza wartość to 23 56 cali w przypadku opadów deszczu w roku 1813 Można określić wartość początkową poziomu w funkcji HoltWinters za pomocą parametru Na przykład, aby prognozy miały początkową wartość poziomu ustawionego na 23 56, wpiszemy. Jak wyjaśniono powyżej, domyślnie HoltWinters prognozy na ten czas okres objęty pierwotnymi danymi 1813-1912 dla serii czasów opadów Możemy tworzyć prognozy dla kolejnych punktów czasowych za pomocą funkcji w pakiecie prognoz R Aby skorzystać z tej funkcji musimy najpierw zainstalować pakiet R prognoz dla instrukcji jak zainstalować pakiet R, zobacz Jak zainstalować pakiet R. Jeśli zainstalowałeś pakiet R prognozowania, możesz załadować pakiet R prognozowanego przez wpisanie. Gdy użyjesz funkcji jako pierwszego argumentu, przekaż go model predykcyjny, który został już zainstalowany przy użyciu funkcji HoltWinters Na przykład w przypadku serii czasów opadów deszczu, zapisaliśmy model predykcyjny wykonany przy użyciu narzędzia HoltWinters w zmiennych szarych oprawach. Określasz, ile kolejnych punktów czasowych chcesz prognozować, używając parametr h na przykład, aby prognozować opady deszczu na lata 1814-1820 8 kolejnych lat, używając typu. Funkcja daje prognozę na rok, 80 przedział przewidywania dla prognozy, i 95 przedziałów przewidywania dla prognozy Na przykład, prognozowane opady deszczu na rok 1920 wynoszą około 24 68 cali, z 95 przedziałami przewidywania 16 24, 33 11.Aby zaplanować prognozy dokonane przez użycie funkcji. Tutaj prognozy dla 1913-1920 są wykreślane jako niebieska linia, 80 przedział przewidywania jako pomarańczowy zacieniony obszar, a przedział przewidywania 95 jako żółty obszar zacieniony. Błędy prognozy są obliczane jako wartości obserwowane pomniejszone o przewidywane wartości, dla każdego punktu czasowego Możemy tylko obliczyć błędy prognozy dla okresu objętego naszą pierwotną serią czasową, która wynosi 1813-1912 dla danych opadów Jak wspomniano powyżej, jedną miarą dokładności modelu predykcyjnego jest suma kwadratów błędów SSE dla błędy prognozy w próbce. Błędy prognozy w próbce są przechowywane w resztkach nazwanych zmiennej listy zwróconej przez Jeśli nie można poprawić modelu predykcyjnego, nie powinno być korelacji między błędami prognozy dla kolejnego przewidywania jony Innymi słowy, jeśli istnieje prawdopodobieństwo korelacji między błędami prognozy dla kolejnych prognoz, prawdopodobnie prawdopodobne może być poprawienie prostych prognoz wygładzania wykładniczego za pomocą innej techniki prognozowania. Aby dowiedzieć się, czy jest to przypadek, możemy uzyskać korelgram błędy prognozowania błędów w błędach dla błędów 1-20 Możemy obliczyć korelację błędów prognozy za pomocą funkcji acf w R Aby określić maksymalny opóźnienie, na które chcemy się przyjrzeć, używamy parametru w acf. Na przykład, aby obliczyć korelogram błędów prognozowanych w próbce dla londyńskich danych o opadach z powodu opóźnień 1-20, możemy wpisać. Możesz zobaczyć z przykładowego krążka, że ​​autokorelacja w punkcie 3 po prostu dotyka znaczących granic Aby sprawdzić, czy istnieją znaczące dowody na brak - zero w przypadku opóźnień 1-20, możemy przeprowadzić test Ljung-Box Można to zrobić w R przy użyciu funkcji Maksymalne opóźnienie, które chcemy sprawdzić, jest określone przy użyciu parametru opóźnienia w funkcji Na przykład , w celu sprawdzenia, czy występują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20, w przypadku błędów prognozowanych w przypadku danych dotyczących opadów w Londynie, wpisujemy. W tym przypadku statystyka testowa Ljung-Box wynosi 17 4, a wartość p wynosi 0 6 , więc niewiele wskazuje na niezerowe autokorelacje w błędach prognozowania próbek w przypadku opóźnień 1-20. Aby upewnić się, że model predykcyjny nie może zostać poprawiony, dobrze jest sprawdzić, czy błędy prognozy są normalnie rozproszone ze średnią zerową i stałą odchyleniem Aby sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą odmianę, możemy wykonać wykres czasowy błędów prognozowanych w próbce. Na wykresie wynika, że ​​błędy prognozowania w próbce wydają się mieć stałą różnicę w czasie, chociaż wielkość wahań na początku serii czasów 1820-1830 może być nieco mniejsza niż w późniejszych datach np. 1840-1850.Aby sprawdzić, czy błędy prognozy są rozproszone w normalnym zera, możemy wydrukować histogram błędy prognozy, z pokrytymi normami ve, co oznacza zero i takie same odchylenia standardowe, co rozkład błędów prognozy W tym celu możemy zdefiniować funkcję funkcji RForForecastErrors poniżej. Będziesz musiała skopiować powyższą funkcję do R, aby ją użyć Użyj plotForecastErrors do wykreślenia histogramu z pokrytą normalną krzywą prognozowanych błędów w prognozach opadów deszczu. Wykres pokazuje, że rozkład błędów prognozowanych jest mniej więcej skupiony na zerze i jest mniej lub bardziej rozproszony, chociaż wydaje się być lekko pochylony w prawo w porównaniu do krzywej normalnej Prawy skośny jest stosunkowo niewielki i dlatego jest prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerem. Badanie Ljung-Box wykazało, że istnieje niewiele dowodów na niezerowe autokorelacje w in - błędy prognozy próbki, a rozkład błędów prognozy wydaje się normalnie rozprowadzony ze średnim zerem To sugeruje, że prosta metoda wyrównywania wykładniczego zapewnia odpowiednią metodę predykcyjną m odel do londyńskich opadów deszczowych, co prawdopodobnie nie da się poprawić. Ponadto założenia, że ​​odstępy predykcyjne 80 i 95 oparte są na braku błędów autokorelacji w prognozowanych błędach, a błędy prognozy są zwykle rozkładane ze średnią zerową i stałą odchylenie prawdopodobnie ważne. Wygładzanie wykładnicze. Jeśli masz szeregi czasowe, które można opisać przy użyciu modelu addytywnego ze wzrastającą lub malejącą tendencją i bez sezonowości, możesz użyć wygładzania wykładniczego Holt, aby uzyskać prognozy krótkoterminowe. poziom i nachylenie w aktualnym punkcie czasowym Wygładzanie jest kontrolowane przez dwa parametry, alfa, dla oszacowania poziomu w aktualnym punkcie czasowym, a beta dla estymatora nachylenia b składnika tendencji w bieżącym punkcie czasowym. Podobnie jak w przypadku prostego wyrównywanie wykładnicze, parametry alfa i beta mają wartości od 0 do 1, a wartości bliskie 0 oznacza, że ​​niewielka masa jest umieszczana na najbardziej w przypadku prognoz wartości przyszłych. Przykład serii czasów, które można prawdopodobnie opisać przy użyciu modelu addytywnego z tendencją i sezonem nie jest seria czasowa rocznej średnicy spódnic damskich na krawędzi, od 1866 do 1911 Dane są dostępne w pliku oryginalnych danych z firmy Hipel i McLeod, 1994. Możemy odczytywać i zapisywać dane w R przez wpisanie. Widzimy na wykresie, że wzrost średnicy od około 600 w roku 1866 do około 1050 w 1880 r., A następnie zmniejszyła się średnica półek do około 520 w roku 1911. Aby dokonać prognoz można dopasować model predykcyjny przy użyciu funkcji HoltWinters w R Aby użyć programu HoltWinters do wyrównywania wykładniczej Holta, musimy ustawić parametr gamma FALSE parametr gamma wykorzystywany jest do wyrównywania wykładniczej Holt-Winter'a, jak opisano poniżej. Na przykład, aby wyrównać wykładnię Holt-s w celu dopasowania do modelu predykcyjnego średnicy trzpienia, wpiszemy. Szacowana wartość alfa wynosi 0 84 i beta jest 1 00 tys są zarówno wysokie, informując, że zarówno oszacowanie bieżącej wartości poziomu, jak i nachylenie b składnika trendu opierają się głównie na bardzo niedawnych obserwacjach w serii czasowej To czyni to dobrze intuicyjnie, ponieważ poziom i nachylenie szeregów czasowych zmienia się dosyć dużo czasu Wartość sumy kwadratowych błędów błędów prognozowanych w próbce wynosi 16954. Możemy wyprowadzić serię czasów pierwotnych jako czarną linię, z przewidywanymi wartościami jak czerwona linia na górze tego, wpisując. Widać na obrazie, że prognozy dla próbek zgadzają się całkiem dobrze z obserwowanymi wartościami, chociaż zazwyczaj mają tendencję do lagania za obserwowanymi wartościami trochę. Jeśli chcesz, mogą określać początkowe wartości poziomu i nachylenia b składnika trendów za pomocą argumentów i argumentów funkcji HoltWinters Często ustala początkową wartość poziomu do pierwszej wartości w serii czasów 608 dla danych spódnic, i początkową wartość nachylenia do sek druga wartość 9 dla danych spódnic Przykładowo, aby dopasować model predykcyjny do danych osłony za pomocą wyrównania wykładniczego Holta, przy wartości początkowej 608 dla poziomu i 9 dla nachylenia b składnika trendu, type. As dla prostego wyrównywania wykładniczego możemy przewidzieć przyszłe czasy, które nie są objęte pierwotną serią czasową, używając funkcji w pakiecie prognozowania. Na przykład nasze dane z serii czasowej na haczyki spódnicowe były od 1866 do 1911 roku, dzięki czemu możemy prognozy na lata 1912-1930 19 więcej punktów danych i sprecyzuj je, wpisując. Prognozy są wyświetlane jako niebieska linia, z 80 przedziałami przewidywania jako pomarańczowy zacieniony obszar, a 95 przedziałów przewidywania jako żółty obszar zacieniony. proste wyrównywanie wykładnicze, możemy sprawdzić, czy można poprawić model predykcyjny, sprawdzając, czy błędy prognozy w próbce wykazują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20. Na przykład w przypadku danych z spódnicą możemy utworzyć regułę współrzędnych, a wykonać th e test Ljung-Box, wpisując się w tym polu. Kutę korespondencji wskazuje, że autokorelacja próbki dla błędów prognozowanych w próbce w punkcie opóźnienia 5 przekracza granice istotności. Spodziewamy się, że jedna na 20 autokorelacji w pierwszych dwudziestu opcjach opóźnia przekroczenie W przypadku testu Ljung-Box wartość p wynosi 0 47, co wskazuje, że w błędach prognozowanych w próbce w przypadku opóźnień 1-20 jest niewiele dowodów na niezerowe autokorelacje. Jeśli chodzi o prosty wygładzanie wykładnicze, należy również sprawdzić, czy błędy prognozy mają stałą zależność od czasu i są zwykle rozdzielane na średnie zera. Można to zrobić, tworząc wykres czasowy błędów prognozy, a także histogram rozkładu błędów prognozowanych krzywa normalna pokryta. Wykres czasowy błędów prognoz pokazuje, że błędy prognozy mają stałą zmienność w czasie Histogram błędów prognoz pokazuje, że jest prawdopodobne, że błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerową i niezmienną odchyleniem. Tak, test Ljung-Box pokazuje, że w błędach prognozy występują niewiele dowodów na autokorelacje, podczas gdy wykres czasowy i histogram błędów prognoz pokazują, że prawdopodobne jest, że błędy prognozy są normalnie rozprowadzane ze średnią zerowa i stała wariancja W związku z tym możemy stwierdzić, że wygładzanie wykładnicze Holt s zapewnia odpowiedni model predykcyjny dla średnic półfabrykatów, które prawdopodobnie nie można poprawić na plus Ponadto oznacza, że ​​przypuszczenia, że ​​80 i 95 przedziały przewidywania były prawdopodobnie Jeśli masz szereg czasowy, który można opisać przy użyciu modelu addytywnego ze wzrastającym lub zmniejszającym się trendem i sezonowością, można użyć wygładzania wykładniczego Holt-Wintersa w celu uzyskania prognoz krótkoterminowych. Wyrównanie wykładnicze Hölt-Winters szacuje poziom, nachylenie i składnik sezonowy w bieżącym punkcie czasowym Wygładzanie jest kontrolowane przez trzy parametry alfa, beta i ga mma, dla estymacji poziomu, nachylenia b składnika tendencji i składnika sezonowego w bieżącym punkcie czasowym Parametry alfa, beta i gamma mają wartości pomiędzy 0 a 1, a wartości zbliżone do 0 oznacza, że ​​stosunkowo niewielką wagę przywiązuje się do najnowszych obserwacji przy prognozowaniu przyszłych wartości. Przykład serii czasowej, którą można prawdopodobnie opisać przy użyciu modelu addytywnego z tendencją i sezonowością, jest serią czasową dziennika miesięcznej sprzedaży sklep z pamiątkami w mieście nadmorskim w Queensland w Australii omówionym powyżej. Aby dokonać prognoz, możemy dopasować model predykcyjny przy użyciu funkcji HoltWinters Aby na przykład przygotować model predykcyjny do dziennika miesięcznej sprzedaży w sklepie z pamiątkami, typ. Oszacowane wartości alfa, beta i gamma odpowiednio wynoszą odpowiednio 0, 41, 0 00 i 0 96. Wartość alfa 0 41 jest względnie niska, wskazując, że szacunek poziomu w aktualnym punkcie czasowym oparty jest na obu odbiornikach Obserwacje nt i niektóre obserwacje w dalekiej przyszłości Wartość beta wynosi 0 00, co wskazuje, że estymacja nachylenia b składnika trendu nie jest aktualizowana w serii czasowej, a zamiast tego jest równa wartości początkowej To czyni dobrą intuicyjny sens, ponieważ poziom zmienia się nieco w serii czasowej, ale nachylenie b składnika tendencji pozostaje w przybliżeniu takie samo W przeciwieństwie do wartości gamma 0 96 jest wysoka, wskazując, że szacunek składnika sezonowego w bieżącym punkt czasowy oparty jest jedynie na bardzo niedawnych obserwacjach. W przypadku prostego wyrównania wykładniczego i wyrównania wykładniczego Holt możemy wyprowadzić oryginalną serię czasową jako czarną linię, a prognozowane wartości oznaczają czerwoną linię. że metoda wykładnicza Holt-Wintersa jest bardzo skuteczna w przewidywaniu sezonowych szczytów, które mają miejsce w listopadzie każdego roku. Aby przewidzieć prognozy dla przyszłych czasów, które nie zostały uwzględnione w pierwotnej serii czasowej, używamy funkcji w pakiet prognoz Na przykład oryginalne dane dotyczące sprzedaży pamiątek pochodzą z okresu od stycznia 1987 r. do grudnia 1993 r. Jeśli chcielibyśmy przewidzieć od stycznia 1994 r. do grudnia 1998 r. 48 miesięcy i przedstawić prognozy, wpiszemy prognozy. niebieska linia, a pomarańczowe i żółte zacienione obszary wykazują odpowiednio 80 i 95 odstępów predykcji. Możemy zbadać, czy można poprawić model predykcyjny, sprawdzając, czy błędy prognozy w próbce wykazują niezerowe autokorelacje w przypadku opóźnień 1-20 , dokonując korelogramu i przeprowadzając test Ljung-Box. Kriografram pokazuje, że autokorelacje dla błędów prognozowanych w próbce nie przekraczają granic istotnych dla opóźnień 1-20 Ponadto wartość p dla testu Ljung-Box wynosi 0 6, indicating that there is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20.We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram with overlaid normal curve. From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can d ifference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of th e diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrela tions, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the corr elogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 param eters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuat ions in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, sin ce they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abrupt ly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of v olcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate AR IMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function abo ve , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forec asted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast error s are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model fo r the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take posit ive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have ro ughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introd uction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.